Brevi richiami sulla teoria delle travi inflesse

Si consideri un tratto di trave di lunghezza “dx” soggetto ad un carico ripartito di valore “q” e si indichino con “T” ed “M”, lo sforzo di taglio ed il momento flettente nella generica sezione A e “T₁” ed “M₁” le analoghe caratteristiche della sollecitazione nella sezione B posta a distanza “dx” dalla sezione A..

Figura 1

I valori di “T₁” ed “M₁” sono rispettivamente:

T₁ = T + dT ovvero T₁ = T + q dx

M₁ = M + dM ovvero M₁ = M + T dx – q dx dx/2

Essendo "q dx“ il carico agente nel tratto AB.

Se si trascura l’infinitesimo del 2° ordine si ottiene: dT = - q dx e dM = T dx

Da cui si ricavano le note e fondamentali relazioni tra il carico “q”, lo sforzo di taglio “T” ed il momento flettente “M”:

(1) (2) ovvero (3)

La derivata dello sforzo di taglio cambiata di segno è uguale al carico agente.

La derivata del momento flettente è uguale allo sforzo di taglio.

La derivata seconda del momento flettente cambiata di segno è uguale al carico agente.

Dalle relazioni (1) e (2) derivano le seguenti considerazioni:

1) nei tratti di trave scarichi – cioè per q=0 – lo sforzo di taglio è costante (T = cost) ed il momento flettente è variabile con legge lineare;

2) nei tratti di trave caricati con carico ripartito – cioè per q¹0 – lo sforzo di taglio T ed il momento flettente M sono variabili con continuità. In particolare,

· se il carico q è ripartito con legge uniforme, lo sforzo di taglio è variabile con legge lineare ed il momento flettente è variabile con legge parabolica del 2° grado;

· se il carico q è linearmente variabile (carichi triangolari o trapezoidali), lo sforzo di taglio è variabile con legge parabolica del 2° grado ed il momento flettente è variabile con legge parabolica del 3° grado;

· ….

3) dalla relazione (2) si deduce che

· nei tratti di trave dove T = 0, il momento flettente è costante;

· nei tratti di trave dove M = cost, lo sforzo di taglio è nullo;

· nei tratti di trave dove T ¹ 0, il momento flettente è variabile. Ciò significa che la sollecitazione tagliante è sempre compresente con la sollecitazione flettente e che la sollecitazione di solo taglio si verifica solo in alcune sezioni isolate (ad esempio in corrispondenza degli appoggi nelle travi appoggiate-appoggiate);

· nelle sezioni in cui si annulla lo sforzo di taglio, il momento flettente è massimo. Si evidenzia che l’estremo relativo della funzione M(x) è massimo e non minimo in quanto la derivata seconda del momento flettente è negativa (cfr. la relazione (3)).

4) nei tratti di trave compresi tra due carichi concentrati, lo sforzo di taglio T ed il momento flettente M si determinano con le relazioni

essendo C₁ e C₂ le costanti di integrazione che si determinano imponendo le condizioni al contorno.